Ecuación de primer grado
Una ecuación de primer grado con una incógnita tiene la forma ax + b = c. Se resuelve «despejando» la x: pasas b al otro lado restando y divides entre a. x = (c − b) ÷ a
Ejemplo: 3x − 6 = 12 → 3x = 12 + 6 = 18 → x = 6.
Si a = 0 la ecuación no es de primer grado: si además b = c se cumple para cualquier x (infinitas soluciones), y si b ≠ c no tiene solución.
Ecuación de segundo grado
La forma general es ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. Se resuelve con la fórmula: x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
La expresión b² − 4ac se llama discriminante (Δ) y decide cuántas soluciones tiene:
- Δ > 0: dos soluciones reales distintas.
- Δ = 0: una solución real doble, x = −b ÷ 2a.
- Δ < 0: no hay soluciones reales; hay dos complejas conjugadas, que la calculadora muestra con la unidad imaginaria i.
Ejemplo: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 → x = (5 ± 1) ÷ 2 → x₁ = 3 y x₂ = 2. Se comprueba: 3 + 2 = 5 (= −b ÷ a) y 3 × 2 = 6 (= c ÷ a).
Cómo comprobar el resultado
Sustituye la solución en la ecuación original y comprueba que se cumple. En las de segundo grado, la suma de las raíces debe ser −b ÷ a y su producto c ÷ a (relaciones de Cardano-Vieta).
Ecuaciones incompletas
- Si b = 0: ax² + c = 0 → x = ±√(−c ÷ a), si el cociente es positivo.
- Si c = 0: ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → x = 0 o x = −b ÷ a.
La calculadora las resuelve igual con la fórmula general. Para trabajar con fracciones antes de despejar, usa la calculadora de fracciones, y para proporciones simples la regla de tres.