Qué son el m.c.m. y el M.C.D.
- El máximo común divisor (M.C.D.) de varios números es el mayor número que divide a todos exactamente. Del 12 y el 18 es el 6.
- El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es el menor número positivo que es múltiplo de todos ellos. Del 12 y el 18 es el 36.
Cómo se calculan con factores primos
Se descompone cada número en factores primos. Por ejemplo, 12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3². Después:
- M.C.D.: se toman solo los factores comunes con el menor exponente: 2¹ × 3¹ = 6.
- m.c.m.: se toman todos los factores, comunes y no comunes, con el mayor exponente: 2² × 3² = 36.
Para dos números, se cumple M.C.D. × m.c.m. = a × b (6 × 36 = 12 × 18 = 216). Con tres o más números esa relación ya no vale.
Para qué sirven
- Simplificar fracciones: dividir numerador y denominador entre su M.C.D. Con el m.c.m. de los denominadores se suman fracciones con el menor denominador común. Puedes practicar con la calculadora de fracciones.
- Problemas de coincidencias: si un autobús pasa cada 12 minutos y otro cada 18, volverán a coincidir cada 36 minutos (el m.c.m.).
- Repartos exactos: el mayor tamaño de grupo que permite repartir 12, 18 y 30 elementos sin que sobre ninguno es el M.C.D. (6).
Algoritmo de Euclides
La calculadora usa el algoritmo de Euclides para el M.C.D.: se divide el mayor entre el menor y se repite con el divisor y el resto hasta que el resto es 0; el último divisor es el M.C.D. De 18 y 12: 18 = 12 × 1 + 6; 12 = 6 × 2 + 0, por lo que el M.C.D. es 6. El m.c.m. se obtiene como a ÷ M.C.D. × b.